谈谈任意相对速度方向下的洛伦兹变换

2022年11月10日 by 没有评论

摘要:凡是提到相对论,都会只使用一种特殊的相对运动:相对运动方向沿x轴。这种情况最简单,却也容易引起歧义。所以本文将给出任意相对速度方向下的洛伦兹变换以供读者参考、使用。

在许多文献和参考书中,都提到了两个做相对运动的惯性系,几乎全部都选取了一个特殊的情况:相对速度v的方向与两坐标系的x轴方相同(如图1)。这种情况下的洛伦兹变换关系是最简单的。尽管有简单的好处,但是在一般情况下,或者在讲到四维动量、四维力时,相对速度方向仅与x轴方向相同就显得不太够了,它展示出来的物理图像过于“特殊情况”或者不完整,容易引起很多歧义。所以,本文将给出任意相对速度方向下的洛伦兹变换(如图2),以供读者参考、使用。

如图2显示,相对速度方向是任意的,我们先分析一下相对速度。如图3,蓝色为相对速度矢量 。红色为坐标轴上的相对分量v1、v2、v3。我们采用逆变矢量方式:符号的指标写在上面,并不是表示次方的意思。绿色表示在 平面上的速度分量矢量和。

图3 蓝色是相对速度矢量,红色是其在坐标轴上的分量,绿色是xy平面上的速度分量矢量和

很明显最终的转换公式中,这些分量全部都会出现,我们约定凡是两个相同量相乘的连续写出两次,例如:v2v2表示两个v2相乘,并不是四个v相乘,我们不再使用指数。

对于任意相对运动速度方向的情况,我们先将坐标系进行旋转,变成图1的情况,然后利用简单的洛伦兹变换推出一般情况下的洛伦兹变换。这种旋转分两步进行。会得到三个坐标系,我们分别用红、绿、蓝三种颜色来表示(如图3)。

从红色坐标系R(red)开始,先是绕z轴旋转α角,得到绿色坐标系G(green)。再绕绿色坐标系的y轴旋转β角,得到蓝色坐标系B(blue)。这个蓝色坐标系的x轴沿着相对运动速度的方向。

这里会有两套这种坐标,我们约定第一套的R、G、B坐标分别为(ct,x,y,z)R、(ct,x,y,z)G、(ct,x,y,z)B。第二套的R′、G′、B′坐标分别为

通过上面的准备,现在可以进入转换关系的求解。大致过程如下,先从红色坐标系R开始,转换成蓝色坐标系B,通过简单洛伦兹转换变成蓝色坐标系B′,再通过逆转换变回红色坐标系R′。

这两个公式在研究四维力、四维动量、电磁场的描述中将非常有用。而且只需将速度的第二与第三分量设为零,很容易转变为相对速度沿x轴的简单情况。

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